[mathjax]y座標が必要って話．
検証者が知る情報のなかに，ベースポイント\(P\)と公開鍵\(P_B\)がある．今回はこの2つの点を公開する際に，射影座標\((X:Z)\)が使用可能か考えてみる．
署名の検証には\(V=dH(m)P+duP_B\)を行う必要がある．つまり，点の加算が必要となる．以下に射影座標での点の加算を示す．
$$ X_{m+n}=Z_{m-n}((X_m-Z_m)(X_n+Z_n)+(X_m+Z_m)(X_n-Z_n))^2 $$
$$ Z_{m+n}=X_{m-n}((X_m-Z_m)(X_n+Z_n)-(X_m+Z_m)(X_n-Z_n))^2 $$
上記の式ではある点を基準として\(n\)倍した点を\((X_n,Z_n)\)として表現している．ここで，\(P_B=d_BP\)なので\(V=dH(m)P+dud_BP\)となる．つまり，上記の式では\(m=dH(m),n=dud_B\)となる．ただし，このときに\(X_{m-n},Z_{m-n}\)，つまり\(dH(m)P-dud_BP\)が必要となる．しかし\(dH(m)P-dud_BP\)は不明なため計算できない．
そのため，加算についてはアフィン座標で行う必要がある．アフィン座標での加算の式を以下に示す．
$$x_3=\frac{B(y_2-y_1)^2}{(x_2-x_1)^2}-A-x_1-x_2$$
$$y_3=\frac{(2x_1+x_2+A)(y_2-y_1)}{x_2-x_1}-\frac{B(y_2-y_1)^3}{(x_2-x_1)^3}-y_1$$
加算にはアフィン座標でy座標を復元する必要がある．y座標の復元には以下の式を用いる．
$$y_n = \frac{(x_1 x_n +1)(x_1 + x_n +2A)-2A-(x_1-x_n)^2x_{n+1}}{2By_1}$$
上記の式では\(x_1,y_1,x_n,x_{n+1}\)が必要となる．\(x_1,y_1\)はスカラー倍する前のアフィン座標での点である．つまり\(P,P_B\)が射影座標で公開された場合，\(P\)のy座標が必要となる(x座標は\(X,Z)\)から計算可能)．また，その上で\(x_{n+1}\)が必要となる．\(x_{n+1}\)が公開されない場合，検証者が自ら\(P_B+P\)を計算する必要があり，手間である．(なお，署名者の場合はMontgomery ladderの結果として\(P_n,P_{n+1}\)が手に入るため，手間は減る．)
以上のことから，ベースポイント\(P\)と公開鍵\(P_B\)についてはアフィン座標での公開が望ましいと考える．